삼각형을 단 하나로 결정하는 세 가지 조건 — SSS, SAS, ASA.
"세 변의 길이가 3, 4, 5"라고만 말해도 친구가 정확히 같은 삼각형을 그릴 수 있을까요?
삼각형은 3개의 변과 3개의 각, 총 6가지 정보를 가집니다. 그러나 이 6가지를 다 알 필요는 없습니다. 적절한 3가지 정보만 있으면 삼각형은 단 하나로 결정됩니다.
"적절한" 3가지 정보가 무엇인가? — 그것이 바로 삼각형의 결정조건이며, 세 가지 패턴이 있습니다: SSS(세 변), SAS(두 변과 끼인각), ASA(한 변과 양 끝 각).
다음 세 가지 중 어느 하나가 주어지면 삼각형은 단 하나로 결정된다 (단, 삼각형이 만들어질 수 있는 경우에 한함):
① SSS — 세 변의 길이가 주어진 경우
② SAS — 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어진 경우
③ ASA — 한 변의 길이와 그 양 끝 각이 주어진 경우
세 변 $a$, $b$, $c$가 주어짐 — 삼각형이 만들어진다면 단 하나.
두 변 $b$, $c$와 그 끼인각 $\angle A$가 주어짐.
한 변 $c$와 양 끝 각 $\angle A$, $\angle B$가 주어짐.
"두 변과 끼이지 않은 각" (SSA)이나 "세 각 (AAA)"만 주어지면 삼각형이 단 하나로 결정되지 않을 수 있습니다.
• AAA: 세 각 비율만 같아도 모양은 같지만 크기가 무수히 많음.
• SSA: 두 변과 끼이지 않은 각이 주어지면, 삼각형이 0개·1개·2개일 수 있어 결정 불가.
"세 변 길이 1, 1, 10"으로 삼각형을 그릴 수 있을까요?
세 변이 삼각형을 이룰 수 있는 필요충분조건은 무엇인가?
세 변의 길이를 $a$, $b$, $c$라 할 때, 삼각형이 만들어지려면:
또는 더 간단히: 가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합.
이를 삼각형 부등식이라 합니다.
왜? 두 변을 펼쳐 놓아도 길이가 부족하면 세 번째 변에 닿지 못해 삼각형이 닫히지 않음.
세 변 $a$, $b$, $c$가 주어졌을 때, 자와 컴퍼스로 삼각형을 작도하는 4단계.
"세 변 $a, b, c$가 주어진 삼각형 작도"
• SAS: 끼인각 $\angle A$를 먼저 작도 → 한 변에 $b$만큼 호 → $A$, 다른 변에 $c$만큼 → $C$ → $B$ 연결.
• ASA: 변 $c$를 먼저 그림 → 양 끝에서 각 $\angle A$, $\angle B$를 작도 → 두 반직선의 교점이 $C$.
세 변의 길이를 슬라이더로 바꾸면, 삼각형이 만들어지는지 실시간으로 확인할 수 있습니다.
슬라이더로 세 변 $a, b, c$의 값을 조절해 보세요. 삼각형 부등식을 만족할 때만 실제 삼각형이 그려집니다.
삼각형은 SSS · SAS · ASA 세 조건 중 하나가 주어지면 단 하나로 결정된다. 단, 세 변이 주어진 경우 삼각형 부등식도 만족해야 한다.